Формулы средней ошибки выборки. Средние ошибки повторной и бесповторной выборки Предельная ошибка выборочной доли формула
Учитывая, что на основе выборочного обследования нельзя точно оценить изучаемый параметр (например, среднее значение) генеральной совокупности, необходимо найти пределы, в которых он находится. В конкретной выборке разность может быть больше, меньше или равна . Каждое из отклонений от имеет определенную вероятность. При выборочном обследовании реальное значение в генеральной совокупности неизвестно. Зная среднюю ошибку выборки, с определенной вероятностью можно оценить отклонение выборочной средней от генеральной и установить пределы, в которых находится изучаемый параметр (в данном случае среднее значение) в генеральной совокупности. Отклонение выборочной характеристики от генеральной называется предельной ошибкой выборки . Она определяется в долях средней ошибки с заданной вероятностью, т.е.
= t, (1.38)
где t – коэффициент доверия , зависящий от вероятности, с которой определяется предельная ошибка выборки.
Вероятность появления определенной ошибки выборки находят с помощью теорем теории вероятностей. Согласно теореме П. Л. Чебышёва, при достаточно большом объеме выборки и ограниченной дисперсии генеральной совокупности вероятность того, что разность между выборочной средней и генеральной средней будет сколь угодно мала, близка к единице :
при .
А. М. Ляпунов доказал, что независимо от характера распределения генеральной совокупности при увеличении объема выборки распределение вероятностей появления того или иного значения выборочной средней приближается к нормальному распределению . Это так называемая центральная предельная теорема. Следовательно, вероятность отклонения выборочной средней от генеральной средней, т.е. вероятность появления заданной предельной ошибки, также подчиняется указанному закону и может быть найдена как функция от t с помощью интеграла вероятностей Лапласа:
,
где – нормированное отклонение выборочной средней от генеральной средней.
Значения интеграла Лапласа для разных t рассчитаны и имеются в специальных таблицах, из которых в статистике широко применяется сочетание:
|
Вероятность |
||||||||
Задавшись конкретным уровнем вероятности, выбирают величину нормированного отклонения t и определяют предельную ошибку выборки по формуле (1.38)
При этом чаще всего применяют = 0,95 и t = 1,96, т.е. считают, что с вероятностью 95% предельная ошибка выборки вдвое больше средней. Поэтому в статистике величина t иногда именуется коэффициентом кратности предельной ошибки относительно средней .
На основании зарегистрированных в соответствии с программой статистического наблюдения значений признаков единиц выборочной совокупности рассчитываются обобщающие выборочные характеристики: выборочная средняя () и выборочная доля единиц, обладающих каким-либо интересующим исследователей признаком, в общей их численности (w ).
Разность между показателями выборочной и генеральной совокупности называется ошибкой выборки .
Ошибки выборки, как ошибки любого другого вида статистического наблюдения, подразделяются на ошибки регистрации и ошибки репрезентативности. Основной задачей выборочного метода является изучение и измерение случайных ошибок репрезентативности.
Выборочная средняя и выборочная доля являются случайными величинами, которые могут принимать различные значения в зависимости от того, какие единицы совокупности попали в выборку. Следовательно, ошибки выборки также являются случайными величинами и могут принимать различные значения. Поэтому определяют среднюю из возможных ошибок.
Средняя ошибка выборки (µ - мю) равна:
для средней ; для доли ,
где р - доля определенного признака в генеральной совокупности.
В этих формулах σ х 2 и р (1-р ) являются характеристиками генеральной совокупности, которые при выборочном наблюдении неизвестны. На практике их заменяют аналогичными характеристиками выборочной совокупности на основании закона больших чисел, по которому выборочная совокупность при достаточно большом объеме достаточно точно воспроизводит характеристики генеральной совокупности. Методы расчета средних ошибок выборки для средней и для доли при повторном и бесповторном отборах приведены в табл. 6.1.
Таблица 6.1.
Формулы расчета средней ошибки выборки для средней и для доли
Величина всегда меньше единицы, поэтому величина средней ошибки выборки при бесповторном отборе оказывается меньше, чем при повторном. В тех случаях, когда доля выборки незначительна и множитель близок к единице, поправкой можно пренебречь.
Утверждать, что генеральная средняя значения показателя или генеральная доля не выйдет за границы средней ошибки выборки можно лишь с определенной степенью вероятности. Поэтому, для характеристики ошибки выборки кроме средней ошибки рассчитывают предельную ошибку выборки (Δ), которая связана с гарантирующим ее уровнем вероятности.
Уровень вероятности (Р ) определяет величина нормированного отклонения (t ), и наоборот. Значения t даются в таблицах нормального распределения вероятностей. Наиболее часто используемые сочетания t и Р приведены в табл. 6.2.
Таблица 6.2
Значения нормированного отклонения t при соответствующих значениях уровней вероятности Р
| t | 1,0 | 1,5 | 2,0 | 2,5 | 3,0 | 3,5 |
| Р | 0,683 | 0,866 | 0,954 | 0,988 | 0,997 | 0,999 |
t - коэффициент доверия, зависящий от вероятности, с которой можно гарантировать, что предельная ошибка не превысит t -кратную среднюю ошибку. Он показывает, сколько средних ошибок содержится в предельной ошибке . Так, если t = 1, то с вероятностью 0,683 можно утверждать, что разность между выборочными и генеральными показателями не превысит одной средней ошибки.
Формулы для расчета предельных ошибок выборки приведены в табл. 6.3.
Таблица 6.3.
Формулы расчета предельной ошибки выборки для средней и для доли
После исчисления предельных ошибок выборки находят доверительные интервалы для генеральных показателей . Вероятность, которая принимается при расчете ошибки выборочной характеристики, называется доверительной. Доверительный уровень вероятности 0,95 означает, что только в 5 случаях из 100 ошибка может выйти за установленные границы; вероятности 0,954 - в 46 случаях из 1000, а при 0,999 - в 1 случае из 1000.
Для генеральной средней наиболее вероятные границы, в которых она будет находится с учетом предельной ошибки репрезентативности, будут иметь вид:
Наиболее вероятные границы, в которых будет находится генеральная доля, будут иметь вид:
Отсюда, генеральная средняя , генеральная доля .
Приведенные в табл. 6.3. формулы используются при определении ошибок выборки, осуществляемой собственно случайным и механическим методами.
При стратифицированном отборе в выборку обязательно попадают представители всех групп и обычно в тех же пропорциях, что и в генеральной совокупности. Поэтому ошибка выборки в данном случае зависит главным образом от средней из внутригрупповых дисперсий. Исходя из правила сложения дисперсий можно сделать вывод, что ошибка выборки для стратифицированного отбора всегда будет меньше, чем для собственно случайного.
При серийном (гнездовом) отборе мерой колеблемости будет межгрупповая дисперсия.
Средняя ошибка выборки показывает, насколько отклоняется в среднем параметр выборочной совокупности от соответствующего параметра генеральной. Если рассчитать среднюю из ошибок всех возможных выборок определенного вида заданного объема (n ), извлеченных из одной и той же генеральной совокупности, то получим их обобщающую характеристику - среднюю ошибку выборки () .
В теории выборочного наблюдения выведены формулы для определения , которые индивидуальны для разных способов отбора (повторного и бесповторного), типов используемых выборок и видов оцениваемых статистических показателей.
Например, если применяется повторная собственно случайная выборка, то определяется как:
При оценивании среднего значения признака;
Если признак альтернативный, и оценивается доля.
При бесповторном собственно случайном отборе в формулы вносится поправка (1 - n/N):
- для среднего значения признака;
- для доли.
Вероятность получения именно такой величины ошибки всегда равна 0,683. На практике же предпочитают получать данные с большей вероятностью, но это приводит к возрастанию величины ошибки выборки.
Предельная ошибка выборки () равна t-кратному числу средних ошибок выборки (в теории выборки принято коэффициент t называть коэффициентом доверия):
Если ошибку выборки увеличить в два раза (t = 2), то получим гораздо большую вероятность того, что она не превысит определенного предела (в нашем случае - двойной средней ошибки) - 0,954. Если взять t = 3, то доверительная вероятность составит 0,997 - практически достоверность.
Уровень предельной ошибки выборки зависит от следующих факторов:
- степени вариации единиц генеральной совокупности;
- объема выборки;
- выбранных схем отбора (бесповторный отбор дает меньшую величину ошибки);
- уровня доверительной вероятности.
Если объем выборки больше 30, то значение t определяется по таблице нормального распределения, если меньше - по таблице распределения Стьюдента.
Приведем некоторые значения коэффициента доверия из таблицы нормального распределения.
Доверительный интервал для среднего значения признака и для доли в генеральной совокупности устанавливается следующим образом:
Итак, определение границ генеральной средней и доли состоит из следующих этапов:
Ошибки выборки при различных видах отбора
- Собственно случайная и механическая выборка. Средняя ошибка собственно случайной и механической выборки находятся по формулам, представленным в табл. 11.3.
Пример 11.2. Для изучения уровня фондоотдачи было проведено выборочное обследование 90 предприятий из 225 методом случайной повторной выборки, в результате которого получены данные, представленные в таблице.
В рассматриваемом примере имеем 40%-ную выборку (90: 225 = 0,4, или 40%). Определим ее предельную ошибку и границы для среднего значения признака в генеральной совокупности по шагам алгоритма:
- По результатам выборочного обследования рассчитаем среднее значение и дисперсию в выборочной совокупности:
| Результаты наблюдения | Расчетные значения | |||
|---|---|---|---|---|
| уровень фондоотдачи, руб., x i | количество предприятий, f i | середина интервала, x i \xb4 | x i \xb4 f i | x i \xb4 2 f i |
| До 1,4 | 13 | 1,3 | 16,9 | 21,97 |
| 1,4-1,6 | 15 | 1,5 | 22,5 | 33,75 |
| 1,6-1,8 | 17 | 1,7 | 28,9 | 49,13 |
| 1,8-2,0 | 15 | 1,9 | 28,5 | 54,15 |
| 2,0-2,2 | 16 | 2,1 | 33,6 | 70,56 |
| 2,2 и выше | 14 | 2,3 | 32,2 | 74,06 |
| Итого | 90 | - | 162,6 | 303,62 |
Выборочная средняя
Выборочная дисперсия изучаемого признака
Для наших данных определим предельную ошибку выборки, например, с вероятностью 0,954. По таблице значений вероятности функции нормального распределения (см. выдержку из нее, приведенную в Приложении 1) находим величину коэффициента доверия t, соответствующего вероятности 0,954. При вероятности 0,954 коэффициент t равен 2.
Таким образом, в 954 случаях из 1000 среднее значение фондоотдачи будет не выше 1,88 руб. и не ниже 1,74 руб.
Выше была использована повторная схема случайного отбора. Посмотрим, изменятся ли результаты обследования, если предположить, что отбор осуществлялся по схеме бесповторного отбора. В этом случае расчет средней ошибки проводится по формуле
Тогда при вероятности равной 0,954 величина предельной ошибки выборки составит:
Доверительные границы для среднего значения признака при бесповторном случайном отборе будут иметь следующие значения:
Сравнив результаты двух схем отбора, можно сделать вывод о том, что применение бесповторной случайной выборки дает более точные результаты по сравнению с применением повторного отбора при одной и той же доверительной вероятности. При этом, чем больше объем выборки, тем существеннее сужаются границы значений средней при переходе от одной схемы отбора к другой.
По данным примера определим, в каких границах находится доля предприятий с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., в генеральной совокупности:
- рассчитаем выборочную долю.
Количество предприятий в выборке с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., составляет 60 единиц. Тогда
m = 60, n = 90, w = m/n = 60: 90 = 0,667;
- рассчитаем дисперсию доли в выборочной совокупности
- средняя ошибка выборки при использовании повторной схемы отбора составит
Если предположить, что была использована бесповторная схема отбора, то средняя ошибка выборки с учетом поправки на конечность совокупности составит
- зададим доверительную вероятность и определим предельную ошибку выборки.
При значении вероятности Р = 0,997 по таблице нормального распределения получаем значение для коэффициента доверия t = 3 (см. выдержку из нее, приведенную в Приложении 1):
Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что в генеральной совокупности доля предприятий с уровнем фондоотдачи, не превышающим значения 2,0 руб., не меньше, чем 54,7%, и не больше 78,7%.
- Типическая выборка. При типической выборке генеральная совокупность объектов разбита на k групп, тогда
N 1 + N 2 + … + N i + … + N k = N.
Объем извлекаемых из каждой типической группы единиц зависит от принятого способа отбора; их общее количество образует необходимый объем выборки
n 1 + n 2 + … + n i + … + n k = n.
Существуют следующие два способа организации отбора внутри типической группы: пропорциональной объему типических групп и пропорциональной степени колеблемости значений признака у единиц наблюдения в группах. Рассмотрим первый из них, как наиболее часто используемый.
Отбор, пропорциональный объему типических групп, предполагает, что в каждой из них будет отобрано следующее число единиц совокупности:
n = n i · N i /N
где n i - количество извлекаемых единиц для выборки из i-й типической группы;
n - общий объем выборки;
N i - количество единиц генеральной совокупности, составивших i-ю типическую группу;
N - общее количество единиц генеральной совокупности.
Отбор единиц внутри групп происходит в виде случайной или механической выборки.
Формулы для оценивания средней ошибки выборки для среднего и доли представлены в табл. 11.6.
Здесь - средняя из групповых дисперсий типических групп.
Пример 11.3. В одном из московских вузов проведено выборочное обследование студентов с целью определения показателя средней посещаемости вузовской библиотеки одним студентом за семестр. Для этого была использована 5%-ная бесповторная типическая выборка, типические группы которой соответствуют номеру курса. При отборе, пропорциональном объему типических групп, получены следующие данные:
| Номер курса | Всего студентов, чел., N i | Обследовано в результате выборочного наблюдения, чел., n i | Среднее число посещений библиотеки одним студентом за семестр, x i | Внутригрупповая выборочная дисперсия, |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 650 | 33 | 11 | 6 |
| 2 | 610 | 31 | 8 | 15 |
| 3 | 580 | 29 | 5 | 18 |
| 4 | 360 | 18 | 6 | 24 |
| 5 | 350 | 17 | 10 | 12 |
| Итого | 2 550 | 128 | 8 | - |
Число студентов, которое необходимо обследовать на каждом курсе, рассчитаем следующим образом:
аналогично для других групп:
n 2 = 31 (чел.);
n 3 = 29 (чел.);
Распределение значений выборочных средних всегда имеет нормальный закон распределения (или приближается к нему) при п > 100, независимо от характера распределения генеральной совокупности. Однако в случае малых выборок действует иной закон распределения - распределение Стьюдента. В этом случае коэффициент доверия находится по таблице t-распределения Стьюдента в зависимости от величины доверительной вероятности Р и объема выборки п. В Приложении 1 приводится фрагмент таблицы t-распределения Стьюдента, представленной в виде зависимости доверительной вероятности от объема выборки и коэффициента доверия t.
Пример 11.4. Предположим, что выборочное обследование восьми студентов академии показало, что на подготовку к контрольной работе по статистике они затратили следующее количество часов: 8,5; 8,0; 7,8; 9,0; 7,2; 6,2; 8,4; 6,6.
Оценим выборочные средние затраты времени и построим доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности, приняв доверительную вероятность равной 0,95.
То есть с вероятностью 0,95 можно утверждать, что затраты времени студента на подготовку к контрольной работе находятся в пределах от 6,9 до 8,5 ч.
11.2.2. Определение численности выборочной совокупности
Перед непосредственным проведением выборочного наблюдения всегда решается вопрос, сколько единиц исследуемой совокупности необходимо отобрать для обследования. Формулы для определения численности выборки выводят из формул предельных ошибок выборки в соответствии со следующими исходными положениями (табл. 11.7):
- вид предполагаемой выборки;
- способ отбора (повторный или бесповторный);
- выбор оцениваемого параметра (среднего значения признака или доли).
Кроме того, следует заранее определиться со значением доверительной вероятности, устраивающей потребителя информации, и с размером допустимой предельной ошибки выборки.
Примечание: при использовании приведенных в таблице формул рекомендуется получаемую численность выборки округлять в большую сторону для обеспечения некоторого запаса в точности.
Пример 11.5. Рассчитаем, сколько из 507 промышленных предприятий следует проверить налоговой инспекции, чтобы с вероятностью 0,997 определить долю предприятий с нарушениями в уплате налогов. По данным прошлого аналогичного обследования величина среднего квадратического отклонения составила 0,15; размер ошибки выборки предполагается получить не выше, чем 0,05.
При использовании повторного случайного отбора следует проверить
При бесповторном случайном отборе потребуется проверить
Как видим, использование бесповторного отбора позволяет проводить обследование гораздо меньшего числа объектов.
Пример 11.6. Планируется провести обследование заработной платы на предприятиях отрасли методом случайного бесповторного отбора. Какова должна быть численность выборочной совокупности, если на момент обследования в отрасли число занятых составляло 100 000 чел.? Предельная ошибка выборки не должна превышать 100 руб. с вероятностью 0,954. По результатам предыдущих обследований заработной платы в отрасли известно, что среднее квадратическое отклонение составляет 500 руб.
Следовательно, для решения поставленной задачи необходимо включить в выборку не менее 100 человек.
Средняя ошибка выборки всегда присутствует в выборочных исследованиях и появляется вследствие того, что обследуются не все единицы статистической совокупности, а лишь ее часть.
Средняя ошибка выборки превращается в предельную ошибку Δ при умножении ее на коэффициент доверияt , который задается предварительно, исходя из требуемой точности наблюдения. Предельная ошибка позволяет судить об «истинном» размере параметра в генеральной совокупности с определенной степенью вероятности
При типическом и серийном
отборе, при расчете ошибки выборки
вместо общей дисперсии (σ
2
)
следует использовать
среднюю из внутригрупповых дисперсий
и межгрупповую дисперсию
,
где
-
частная дисперсия i группы,
объем i группы
Формулы предельной ошибки случайной выборки при определении средней
Для повторного отбора
Формулы предельной ошибки случайной выборки при определении доли
Для повторного отбора
Для бесповторного отбора
Формулы численности случайной выборки при определении средней величины
Формулы численности случайной выборки при определении доли изучаемого признака
Предельная разница между генеральной и выборочной средней соответствует величине предельной ошибки
Значения вероятности и соответственно t находятся по таблицам распределения:
Стьюдента (в случае малой выборки)
Формулы случайной выборки подходят и для механической выборки.
При необходимости округления, при случайной выборке – округление в большую сторону, при механической – в меньшую.
Малая выборка
Если численность выборочной совокупности не более 30 единиц, то средняя ошибка малой выборки при определении средней величины рассчитывается по формуле:
Для расчета ошибки малой выборки применяется уточненная формула дисперсии
Типы задач выборочного наблюдения
определение ошибки выборки,
определение численности выборочной совокупности n ,
определение вероятности того, что выборочная средняя (или доля) отклонится от генеральной не более, чем на заданную величину t=Δ/μ,
оценка случайности расхождений показателей выборочных наблюдений,
перенос выборочных характеристик на генеральную совокупность.
Проверка гипотез о средней и доле
Оценка случайности расхождений показателей выборочных наблюдений
|
|
|
Методы переноса выборочных данных на генеральную совокупность
метод взвешивания;
метод перевзвешивания;
метод заполнения случайным подбором в классах замещения.
Предельная ошибка выборки равна t-кратному числу средних ошибок выборки:
μ – средняя ошибка выборки, рассчитанная с учетом поправки, на которую производится корректировка в случае бесповторного отбора ;
t – коэффициент доверия, который находят при заданном уровне вероятности. Так для Р=0,997 по таблице значений интегральной функции Лапласа t=3
Величина предельной ошибки выборки может быть установлена с определенной вероятностью . Вероятность появления такой ошибки, равной или больше утроенной средней ошибки выборки, крайне мала и равна 0,003 (1–0,997). Такие маловероятные события считаются практически невозможными, а потому вероятность того, что эта разность превысит трехкратную величину средней ошибки, определяет уровень ошибки и составляет не более 0,3% .
Определение предельной ошибки выборки для
доли
Условие:
Из готовой продукции, в порядке собственно-случайного бесповторного отбора , было отобрано 200 ц, из которых 8 ц оказалось испорчено. Можно ли полагать с вероятностью 0,954, что потери продукции не превысят 5%, если выборка составляет 1:20 часть ее размера?
Дано :
- n =200ц – объем выборки (выборочная совокупность)
- m =8ц - кол-во испорченной продукции
- n:N = 1:20 – пропорция отбора, где N- объем совокупности (генеральная совокупность)
- Р = 0,954 – вероятность
Определить : ∆ ω < 5% (согласуется ли то, что потери продукции не превысят 5%)
Решение:
1. Определим выборочную долю-такую долю составляет испорченная продукция в выборочной совокупности:
2. Определим объем генеральной совокупности:
N=n*20=200*20=4000(ц) – количество всей продукции.
3. Определим предельную ошибку выборки для доли продукции, обладающей соответствующим признаком, т.е. для доли испорченной продукции: Δ = t*μ , где µ — средняя ошибка доли, обладающей альтернативным признаком, с учетом поправки, на которую производится корректировка в случае бесповторного отбора; t – коэффициент доверия, который находят при заданном уровне вероятности Р=0,954 по таблице значений интегральной функции Лапласа : t=2
4. Определим границы доверительного интервала для доли альтернативного признака в генеральной совокупности, т.е. какую долю испорченная продукция составит в общем объеме: поскольку доля испорченной продукции в выборочном объеме составляет ω = 0,04, то с учетом предельной ошибки ∆ ω = 0,027 генеральная доля альтернативного признака (p) примет значения:
ω-∆ ω < p < ω+∆ ω
0.04-0.027< p < 0.04+0.027
0.013 < p < 0.067
Вывод: с вероятностью Р=0,954 можно утверждать, что доля испорченной продукции при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала (не менее 1,3% и не более 6,7%). Но остается вероятность того, что доля испорченной продукции может превысить 5% в пределах до 6,7%, что, в свою очередь, не согласуется с утверждением ∆ ω < 5%.
*******
Условие:
Менеджер магазина по опыту знает, что 25% входящих в магазин покупателей, совершают покупки. Предположим, что в магазин вошло 200 покупателей.
Определить:
- долю покупателей, совершивших покупки
- дисперсию выборочной доли
- среднее квадратическое отклонение выборочной доли
- вероятность того, что выборочная доля будет в пределах между 0,25 и 0,30
Решение:
В качестве генеральной доли
(p
) принимаем выборочную долю
(ω
) и определяем верхнюю границу доверительного интервала.
Зная критическую точку (по условию: выборочная доля будет в пределах 0,25-0,30), строим одностороннюю критическую область (правостороннюю).
По таблице значений интегральной функции Лапласа находим Z
Этот же вариант можно рассматривать и как повторный отбор
при условии, если один и тот же покупатель, не купив в 1-й раз, возвращается и совершает покупку.
В случае, если выборку рассматривать как бесповторную , необходимо среднюю ошибку скорректировать на поправочный коэффициент. Тогда, подставив скоррекированные значения предельной ошибки для выборочной доли, при определении критической области, изменятся Z и P
Определение предельной ошибки выборки для средней
По данным 17 сотрудников фирмы, где работает 260 человек, среднемесячная заработная плата составила 360 у.е., при s=76 у.е. Какая минимальная сумма должна быть положена на счет фирмы, чтобы с вероятностью 0,98 гарантировать выдачу заработной платы всем сотрудникам?
Дано :
- n=17 - объем выборки (выборочная совокупность)
- N=260 - объем совокупности (генеральная совокупность)
- Х ср. =360 - выборочная средняя
- S=76 - выборочное среднеквадратическое отклонение
- Р = 0,98 – доверительная вероятность
Определить: минимально допустимое значение генеральной средней (нижнюю границу доверительного интервала).