Разложение в комплексный ряд фурье примеры. Ряды Фурье. Примеры решений. В виде рядов Фурье
Спектральное разложение периодического сигнала можно выполнить, используя систему базисных функций, состоящую из экспонент с мнимыми показателями:
Легко видеть, что функции этой системы периодичны с периодом Т и ортонормированы на отрезке времени [-Т/2, Т/2], так как
Ряд Фурье произвольного периодического сигнала в данном случае принимает вид
(1) 
Выражение (1) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме.
Спектральный анализ непер-х сигналов. Преобразование Фурье. Понятие спектральной плотности. Обратное преобразование Фурье. Условие существования спектральной плотности сигнала. Спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса. Спектральная плотность дельта функции. Связь между длительностью импульса и шириной его спектра.
Дан s (t) - одиночный импульсный сигнал конечной длительности. Дополняем его такими же сигналами, периодически следующими через некоторый интервал времени T, получим периодическую последовательность S пер (t),
которая может быть представлена в виде комплексного ряда Фурье 
(1)
с коэффициентами 
(2)
Для того чтобы вернуться к одиночному импульсному сигналу, устремим к бесконечности период повторения Т. При этом, очевидно:
1. Частоты соседних гармоник nω 1 и (n + l)ω 1 окажутся сколь угодно близкими, так что в формулах (1) и (2) дискретную переменную nω 1 можно заменить непрерывной переменной ω - текущей частотой.
2. Амплитудные коэффициенты С n станут неограниченными малыми из-за наличия величины Т в знаменателе формулы (2).
Задача состоит в нахождении предельного вида формулы (1) при T→∞.
Воспользуемся тем, что коэффициенты ряда Фурье образуют комплексно-сопряженные пары. Каждой такой паре отвечает гармоническое колебание с комплексной амплитудой (3)
Рассмотрим малый интервал частот Δω, образующий окрестность некоторого выбранного значения частоты ω 0 . В пределах этого интервала будет содержаться N=Δω/ω 1 =ΔωT/(2π) отдельных пар спектральных составляющих, частоты которых отличаются мало.Поэтому составляющие можно складывать так, как будто все они имеют одну и ту же частоту и характеризуются одинаковыми комплексными амплитудами
В результате находим комплексную амплитуду эквивалентного гармонического сигнала, отображающего вклад всех спектральных составляющих, содержащихся внутри интервала Δω:
. (4)
Функция (5)
носит название спектральной плотности сигнала s (t). Формула (5) осуществляет преобразование Фурье данного сигнала.
Решим обратную задачу спектральной теории сигналов: найдем сигнал по его спектральной плотности, которую будем считать заданной.
Поскольку в пределе частотные интервалы между соседними гармониками неограниченно сокращаются, последнюю сумму следует заменить интегралом Эта важная формула называется обратным преобразованием Фурье для сигнала s(t).
Сформулируем окончательно фундаментальный результат: сигнал s(t) и его спектральная плотность S(ω) взаимно однозначно связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье^
Спектральное представление сигналов открывает прямой путь к анализу прохождения сигналов через широкий класс радиотехнических цепей, устройств и систем. Сигналу s(t) можно сопоставить его спектральную плотность s(ω) в том случае, если этот сигнал абсолютно интегрируем
,
т. е. существует интеграл 
.
Подобное условие значительно сужает класс допустимых сигналов. Так, в указанном классическом смысле невозможно говорить о спектральной плотности гармонического сигнала и (t) =U m cosω 0 t , существующего на всей бесконечной оси времени.
Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций
Последовательность функций непрерывных на отрезке [a ,b ], называется ортогональной системой функции на отрезке [a ,b ], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если
Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке ,
если выполняется условие
Пусть теперь f (x ) - любая функция непрерывная на отрезке [a ,b ]. Рядом Фурье такой функции f (x ) на отрезке [a ,b ] по ортогональной системе называется ряд:
коэффициенты которого определяются равенством:
N=1,2,...
Если ортогональная система функций на отрезке [a ,b ] ортонормированная, то в этом случаи
где n
=1,2,...
Пусть теперь f (x ) - любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a ,b ]. Рядом Фурье такой функции f (x ) на томже отрезке
по ортогональной системе называется ряд:
Если ряд Фурье функции f (x ) по системе (1) сходится к функции f (x ) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [a ,b ]. В этом случае говорят что f (x ) на отрезке [a ,b ] разлагается в ряд по ортогональной системе (1).
Комплексная форма ряда Фурье
Выражение называется комплексной формой ряда Фурье функцииf (x ), если определяется равенством
,где
Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:
(n
=1,2, . . .)
Задача о колебании струны
Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной l с концами x= 0 и x =l . Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости.
При сделанных выше допущениях можно показать, что функция u (x,t ) , характеризующая положение струны в каждый момент времени t, удовлетворяет уравнению
(1) , где а - положительное число.
Наша з а д а ч а - найти функцию u (x,t ) , график которой дает форму струны в любой момент времени t , т. е. найти решение уравнения (1) при граничных:
и начальных условиях:
Сначала будем искать решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Нетрудно увидеть, что u (x ,t ) 0 является решением уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Будем искать решения, не равные тождественно 0, представимые в виде произведенияu (x,t )=X (x )T (t ), (4) , где , .
Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает:
Из которого наша задача сводится к отысканию решений уравнений:
Используя это условие X (0)=0, X (l )=0, докажем, что отрицательное число, разобрав все случаи.
a) Пусть ТогдаX ”=0 и его общее решение запишется так:
откуда и ,что невозможно, так как мы рассматриваем решения, не обращающиеся тождественно в нуль.
б) Пусть . Тогда решив уравнение
получим , и, подчинив, найдем, что
в) Если то
Уравнения имеют корни:
где 
-произвольные постоянные. Из начального условия найдем:
откуда , т. е.
(n =1,2,...)
(n =1,2,...).
Учитывая это, можно записать:
(N=1,2,...).
и, следовательно
, (n =1,2,...),
но так как A и B разные для различных значений n то имеем
, (n =1,2,...),
где и произвольные постоянные, которые попытаемся определить таким образом, чтобы ряд удовлетворял уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3).
Итак, подчиним функцию u (x,t ) начальным условиям, т. е. подберем и так, чтобы выполнялись условия
Эти равенства являются соответственно разложениями функций и на отрезки в ряд Фурье по синусам. (Это значит что коэффициенты будут вычисляться как для нечетной функций). Таким образом, решение о колебании струны с заданным граничными и начальными условиями дается формулой
(n
=1,2,...)
Интеграл Фурье
Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.
Для того, чтобы f (x ) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:
1) абсолютной интегрируемости на
(т.е. интеграл сходится)
2) на любом конечном отрезке [-L , L ] функция была бы кусочно-гладкой
3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f (x )
Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:
Где 
,
.
Интеграл Фурье для четной и нечетной функции
Пусть f (x )-четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье.
Учитывая, что , а также свойство интегралов по симметричному относительно точкиx =0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем:
(3)
Таким образом, интеграл Фурье четной функции f (x ) запишется так:
,
где a (u ) определяется равенством (3).
Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f (x ) :
(4)
и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:
,
где b (u ) определяется равенством (4).
Комплексная форма интеграла Фурье
, (5)
.
Выражение в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f (x ).
Если в формуле (5) заменить c (u ) его выражением, то получим:
, где правая часть формулы называется двойным интегралом
Фуpье в комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу
в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:
Формулы дискретного преобразования Фурье
Обратное преобразование Фурье.
где n =1,2,... , k =1,2,...
Дискретным преобразованием Фурье - называется N -мерный вектор
при этом, .
Глава 2
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Тригонометрическим рядом Фурье называется ряд вида
a 0 /2 + a 1 cosx + b 1 sinx + a 2 cos2x + b 2 sin2x + ... + a n cosnx + b n sinnx + ...
где числа a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., a n , b n , ... - коэффициенты Фурье.
Более сжатая запись ряда Фурье с символом "сигма":
Как мы только что установили, в отличие от степенного ряда , в ряде Фурье вместо простейших функций
взяты тригонометрические функции
1/2, cosx , sinx , cos2x , sin2x , ..., cosnx , sinnx , ... .
Коэффициенты Фурье вычисляются по следующим формулам:
,
,
.
Все вышеперечисленные функции в ряде Фурье являются периодическими функциями с периодом 2π . Каждый член тригонометрического ряда Фурье является периодической функцией с периодом 2π .
Поэтому и любая частичная сумма ряда Фурье имеет период 2π . Отсюда следует, что если ряд Фурье сходится на отрезке [-π , π ] , то он сходится на всей числовой прямой и его сумма, будучи пределом последовательности периодических частичных сумм, является периодической функцией с периодом 2π .
Сходимость ряда Фурье и сумма ряда
Пусть функция F (x ) , определённая на всей числовой прямой и периодическая с периодом 2π , является периодическим продолжением функции f (x ) , если на отрезке [-π , π ] имеет место F (x ) = f (x )
Если на отрезке [-π , π ] ряд Фурье сходится к функции f (x ) , то он сходится на всей числовой прямой к её периодическому продолжению.
Ответ на вопрос о том, при каких условиях ряд Фурье функции f (x ) сходится к этой функции, даёт следующая теорема.
Теорема. Пусть функция f (x ) и её производная f " (x ) - непрерывные на отрезке [-π , π ] или же имеют на нём конечное число точек разрыва 1-го рода. Тогда ряд Фурье функции f (x ) сходится на всей числовой прямой, причём в каждой точке x , принадлежащей отрезку [-π , π ] , в которой f (x ) непрерывна, сумма ряда равна f (x ) , а в каждой точке x 0 разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции f (x ) справа и слева:
,
где 
и 
.
На концах отрезка [-π , π ] сумма ряда равна среднему арифметическому значений функции в крайней левой и крайней правой точках периода разложения:
.
В любой точке x , принадлежащей отрезку [-π , π ] , сумма ряда Фурье равна F (x ) , если x - точка непрерывности F (x ) , и равна среднему арифметическому пределов F (x ) слева и справа:
,
если x - точка разрыва F (x ) , где F (x ) - периодическое продолжение f (x ) .
Пример 1. Периодическая функция f (x ) с периодом 2π определена следующим образом:
Проще эта функция записывается как f (x ) = |x | . Разложить функцию в ряд Фурье, определить сходимость ряда и сумму ряда.
Решение. Определим коэффициенты Фурье этой функции:
Теперь у нас есть всё, чтобы получить ряд Фурье данной функции:
Этот ряд сходится во всех точках, и его сумма равна данной функции.
Решить задачу на ряды Фурье самостоятельно, а затем посмотреть решение
Ряды Фурье для чётных и нечётных функций
Пусть функция f (x ) определена на отрезке [-π , π ] и является чётной, т. е. f (- x ) = f (x ) . Тогда её коэффициенты b n равны нулю. А для коэффициентов a n верны следующие формулы:
,
.
Пусть теперь функция f (x ) , определённая на отрезке [-π , π ] , нечётная, т.е. f (x ) = - f (- x ) . Тогда коэффициенты Фурье a n равны нулю, а коэффициенты b n определяется формулой
.
Как видно из формул, выведенных выше, если функция f (x ) чётная, то ряд Фурье содержит только косинусы, а если нечётная, то только синусы .
Пример 3.
Решение. Это нечётная функция, поэтому её коэффициенты Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённый интеграл :
.
Это равенство справедливо для любого
.
В точках
сумма ряда Фурье по приведённой во втором параграфе теореме не совпадает со значениями
функции ,
а равна 
.
Вне отрезка
сумма ряда является периодическим продолжением функции
, её
график приводился выше в качестве иллюстрации суммы ряда.
Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию .
Решение. Это чётная функция, поэтому её коэффициенты Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённые интегралы :
Получаем ряд Фурье данной функции:
.
Это равенство справедливо для любого
, так как
в точках
сумма ряда Фурье в данном случае совпадает со значениями
функции ,
поскольку 
.
Жан Фурье родился 21 марта 1768 года. Его первые труды относятся к алгебре. В лекциях 1796 года он изложил теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения, лежащих между данными границами (опубликовано в 1820 году), названную его именем; полное решение вопроса о числе действительных корней алгебраического уравнения было получено в 1829 году Ж. Ш. Ф. Штурмом.
В 1818 году Фурье исследовал вопрос об условиях применимости разработанного Исааком Ньютоном метода численного решения уравнений, не зная об аналогичных результатах, полученных в 1768 году французским математиком Ж. Р. Мурайлем. Итогом работ Фурье по численным методам решения уравнений является "Анализ определённых уравнений", изданный посмертно в 1831 году.
Основной областью занятий Жана Фурье была математическая физика. В 1807 и 1811 годах он представил Парижской АН свои первые открытия по теории распространения тепла в твёрдом теле, а в 1822 году опубликовал работу "Аналитическая теория тепла", сыгравшую большую роль в последующей истории математики. В ней Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности и развил идеи, в самых общих чертах намеченные ранее Даниилом Бернулли, разработал для решения уравнения теплопроводности при тех или иных заданных граничных условиях метод разделения переменных (Фурье метод), который он применял к ряду частных случаев (куб, цилиндр и др.). В основе этого метода лежит представление функций тригонометрическими рядами Фурье, которые хотя и рассматривались иногда ранее, но стали действенным и важным орудием математической физики только у Фурье. Метод разделения переменных получил дальнейшее развитие в трудах С. Пуассона, Михаила Васильевича Остроградского и других математиков 19 века.
"Аналитическая теория тепла" явилась отправным пунктом создания теории тригонометрических рядов и разработки некоторых общих проблем математического анализа. Фурье привёл первые примеры разложения в тригонометрические ряды Фурье функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями. Тем самым он внёс важный вклад в решение знаменитого спора о понятии функции, в котором участвовали крупнейшие математики 18 века. Его попытка доказать возможность разложения в тригонометрический ряд Фурье любой произвольной функции была неудачна, но положила начало большому циклу исследований, посвященных проблеме представимости функций тригонометрическими рядами (П. Дирихле,Николай Иванович Лобачевский, Б. Риман и др.). С этими исследованиями было в значительной мере связано возникновение теории множеств и теории функций действительного переменного.
Ряды Фурье для комплексных функций
Рассмотрим элементы теории рядов Фурье для комплексных функций, т.е. функций вида , где i – мнимая единица, – вещественные функции вещественного аргумента. Обозначим символом множество комплексных кусочно-непрерывных функций, определенных на промежутке .
Скалярным произведением функций назовем комплексное число
где – функция, комплексно сопряженная с функцией .свойства скалярного произведения комплексных функций следующие:
2. билинейность
Как и ранее, функции f и g будем называть ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.
Определение нормы функции оставим прежним, так что
Свойства нормы, претерпевшие изменения при переходе от вещественных функций к комплексным, следующие:
1. теорема косинусов.
или в более общем виде
2. Обобщенная теорема Пифагора. Если , то
3. Неравенство Коши – Буняковского. Если функции и непрерывны, то .
В самом деле, если , то на , и доказываемое неравенство выполняется. Пусть . Число очевидно, не отрицательно. С другой стороны, по формуле (1.2), где и , имеем
Таким образом, , а так как , то , что и требовалось доказать.
Пусть теперь система комплексных функций
ортогональна на промежутке . Сопоставим функции ее ряд Фурье
где коэффициенты Фурье
Введем обозначения: – частичная сумма ряда Фурье; – произвольная линейная комбинация функций где .
Тогда, так же, как для вещественных функций выполняется неравенство
где , причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда , т.е. среди всех функций функция дает наилучшее среднеквадратическое приближение к функции .
Сходимость ряда в среднем и замкнутость системы функций определяются
а) если для некоторой функции выполняется равенство Парсеваля
то ряд (1.4) сходится в среднем к , т.е. ;
б) ортогональная система функций (1.3) называется замкнутой на промежутке , если равенство Парсеваля выполняется для каждой функции из .
Введем в рассмотрение систему комплексных функций
Свойства системы функции (1.7) следующие:
2. Функции являются 2L -периодичными: .
3. Система функций (1.7) ортогональна на промежутке [–L , L ]. Действительно, при
Здесь использована формула .
Ряд Фурье для функции по системе функций (1.7) имеет вид
где коэффициенты Фурье
Система функций (1.7) замкнута на [–L , L ] , поэтому для нее справедливы следующие утверждения:
а) ряд (1.8) сходится в среднем к ,
б) для любой функции из выполняется равенство Парсеваля ,
в) среднеквадратическая погрешность, возникающая при замене функции частичной суммой ее ряда Фурье,
Теорема Дирихле. Если вещественная и мнимая части функции удовлетворяют на промежутке [–L , L ] условиям Дирихле, то функция является суммой своего ряда Фурье:
Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье
Пусть вещественная функция удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [–L , L ]. Запишем ее разложение в тригонометрический ряд Фурье:
Если в (2.1) выразить и через показательную функцию от мнимого аргумента:
то получим ряд
где в силу (2.2)
Последние три формулы можно объединить:
Ряд (2.3) с коэффициентами (2.4) называется тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме.
Пример 1. Разложить функцию , где – комплексное число, в ряд Фурье на промежутке .
Решение . Найдем коэффициенты Фурье:
Поскольку , то
Искомое разложение будет иметь вид
где учтено, что
Применяя к ряду (2.5) равенство Парсеваля
можно найти сумму еще одного числового ряда. Действительно, в нашем случае
Тогда из (2.6) следует
Принята, особенно в электротехнике и радиотехнике, следующая терминология. Выражения называют гармоникой, иногда так же называют комплексной гармоникой, называют волновыми числами. Совокупность волновых чисел называется спектром. Если обкладывать эти числа на числовой оси, то получим совокупность отдельных точек. Такую совокупность называют дискретной, а соответствующий спектр дискретным.
Ряды Фурье применяются при разработке радиоэлектронных систем управления и наведения различных зенитно-ракетных комплексов, космических аппаратов, при расчетах заданных параметров управления полетом.
Пример 4. Представить рядом Фурье в комплексной форме функцию